一元線性回歸分析預測法模型分析

2011年7月1日星期五

一元線性回歸分析預測法模型分析

　一元線性回歸分析預測法，是根據自變數x和因變數Y的相關關係，建立x與Y的線性回歸方程進行預測的方法。由於市場現象一般是受多種因素的影響，而並不是僅僅受一個因素的影響。所以應用一元線性回歸分析預測法，必須對影響市場現象的多種因素做全面分析。只有當諸多的影響因素中，確實存在一個對因變數影響作用明顯高於其他因素的變數，才能將它作為自變數，應用一元相關回歸分析市場預測法進行預測。
一元線性回歸分析法的預測模型為：
$\hat{Y}_t=a+bx_t$ 　　　　（1）
式中，

x t

代表t期自變數的值；
$\hat{Y}_t$ 代表t期因變數的值；
a、b代表一元線性回歸方程的參數。
a、b參數由下列公式求得（用 $\sum$ 代表 $\sum^{n}_{i-1}$ ）：
$\begin{cases}a=\frac{\sum Y_i}{n}-b\frac{\sum X_i}{n}\\b=\frac{n\sum X_{i}Y_{i}-\sum X_i\sum Y_i}{n\sum X^2_i-(\sum X_i)^2} \end{cases}$
為簡便計算，我們作以下定義：
$\begin{cases}S_{xx}=\sum(X_i-\bar{X})^2=\sum X^2_i-\frac{(\sum X_i)^2}{n}\\S_{yy}=\sum(Y_i-\bar{Y})^2=\sum Y^2_i-\frac{(\sum Y_i)^2}{n}\\S_{xy}=\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=\sum X_i Y_i-\frac{\sum X_i\sum Y_i}{n}\end{cases}$ 　　　　(2)
式中： $\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n},\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}$
這樣定義a、b後，參數由下列公式求得：
$\begin{cases}a=\bar{Y}-b\bar{X}\\b=\frac{X_{xy}}{S_{xx}}\end{cases}$ 　　　　(3)
將a、b代入一元線性回歸方程

Y t = a + b x t

，就可以建立預測模型，那麼，只要給定

x t

值，即可求出預測值 $\hat{Y}_t$ 。
在回歸分析預測法中，需要對Ｘ、Ｙ之間相關程度作出判斷，這就要計算相關係數Ｙ，其公式如下：
$r=\frac{\sum(x_i-\bar{X})(Y_i-\hat{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}=\frac{S_{xy}}{\sqrt S_{xx}\bullet{S_{yy}}}$
相關係數r的特征有：
①相關係數取值範圍為：-1≤r≤1 。
②r與b符合相同。當r>0，稱正線性相關，

X i

上升，

Y i

呈線性增加。當r<0，稱負線性相關，

X i

上升，

Y i

呈線性減少。
③|r|=0，X與Y無線性相關關係；|r|=1，完全確定的線性相關關係；0<|r|<1，X與Y存在一定的線性相關關係；|r|>0.7，為高度線性相關；0.3<|r|≤0.7，為中度線性相關；|r|≤0.3，為低度線性相關。
$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\bullet S_{yy}}}$ 　　　　(4)

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2011年7月1日星期五