一元線性回歸分析預測法模型分析

 一元線性回歸分析預測法, 是根據自變數x和因變數Y的相關關係,建立x與Y的線性回歸方程進行預測的方法。由於市場現象一般是受多種因素的影響,而並不是僅僅受一個因素的影響。所 以應用一元線性回歸分析預測法,必須對影響市場現象的多種因素做全面分析。只有當諸多的影響因素中,確實存在一個對因變數影響作用明顯高於其他因素的變 數,才能將它作為自變數,應用一元相關回歸分析市場預測法進行預測。
一元線性回歸分析法的預測模型為:
\hat{Y}_t=a+bx_t    (1)
式中,xt代表t期自變數的值;
\hat{Y}_t代表t期因變數的值;
a、b代表一元線性回歸方程的參數。
a、b參數由下列公式求得(用\sum代表\sum^{n}_{i-1}):
\begin{cases}a=\frac{\sum Y_i}{n}-b\frac{\sum X_i}{n}\\b=\frac{n\sum X_{i}Y_{i}-\sum X_i\sum Y_i}{n\sum X^2_i-(\sum X_i)^2} \end{cases}
為簡便計算,我們作以下定義:
\begin{cases}S_{xx}=\sum(X_i-\bar{X})^2=\sum X^2_i-\frac{(\sum X_i)^2}{n}\\S_{yy}=\sum(Y_i-\bar{Y})^2=\sum Y^2_i-\frac{(\sum Y_i)^2}{n}\\S_{xy}=\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=\sum X_i Y_i-\frac{\sum X_i\sum Y_i}{n}\end{cases}    (2)
式中:\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n},\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}
這樣定義a、b後,參數由下列公式求得:
\begin{cases}a=\bar{Y}-b\bar{X}\\b=\frac{X_{xy}}{S_{xx}}\end{cases}    (3)
將a、b代入一元線性回歸方程Yt = a + bxt,就可以建立預測模型,那麼,只要給定xt值,即可求出預測值\hat{Y}_t
回歸分析預測法中,需要對X、Y之間相關程度作出判斷,這就要計算相關係數Y,其公式如下:
r=\frac{\sum(x_i-\bar{X})(Y_i-\hat{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}=\frac{S_{xy}}{\sqrt S_{xx}\bullet{S_{yy}}}
相關係數r的特征有:
①相關係數取值範圍為:-1≤r≤1 。
②r與b符合相同。當r>0,稱正線性相關,Xi上升,Yi呈線性增加。當r<0,稱負線性相關,Xi上升,Yi呈線性減少。
③|r|=0,X與Y無線性相關關係;|r|=1,完全確定的線性相關關係;0<|r|<1,X與Y存在一定的線性相關關係;|r|>0.7,為高度線性相關;0.3<|r|≤0.7,為中度線性相關;|r|≤0.3,為低度線性相關。
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\bullet S_{yy}}}    (4)

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